Mire el material a continuación: Xiao Wei tiene una pregunta: como se muestra en la Figura 1, hay un punto P en el triángulo equilátero ABC, PA="3", PB=4, PC=5, así que encuentre ∠APB .

Análisis de preguntas de prueba: de acuerdo con las propiedades de rotación y el teorema inverso del teorema de Pitágoras, los resultados se pueden obtener a partir del juicio y las propiedades del triángulo equilátero;

(1) Con referencia a las ideas de resolución de problemas dadas en la pregunta, podemos rotar △ABP 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto A para obtener △A DP'. Según las propiedades de rotación, podemos saber que △ABP≔△A DP ' es un triángulo rectángulo isósceles, y podemos obtener △A P ' P = 45, entonces podemos concluir que △DPP ' es un triángulo rectángulo, y tenemos puede obtener el resultado;

(2) El método es el mismo que (2) y el resultado se puede obtener combinando las propiedades de los hexágonos regulares.

Si △app’ es un triángulo equilátero, entonces △app’c = 60.

∵

∴△CPP' es un triángulo rectángulo

∴∠cp′p=90

∴∠ap′c= 150

∴∠apb=150;

(1) Gire △ABP 90° en sentido antihorario alrededor del punto A para obtener △A DP′,

obtenga △ ABP ≔△A DP ' y △APP ' son las conclusiones de triángulos rectángulos isósceles.

∴∠ap′p=45

∵

∴△DPP' es un triángulo rectángulo,

∴∠dp′p =90

∴∠dp′a=135

∴∠ APB = 135, la longitud del lado del cuadrado es;

(2) El método es igual que (2), el grado de ∠APB es igual a 120, y la longitud del lado del hexágono regular es El ángulo entre ellos es igual al ángulo de rotación y la distancia desde el punto correspondiente al centro de rotación es igual .