¿Qué significa Topp?
La topología de red se refiere a la disposición física, lógica o virtual específica entre los miembros que componen una red.
La topología geométrica es una rama de las matemáticas formada en el siglo XIX y pertenece a la categoría de geometría. Algo sobre topología apareció ya en el siglo XVIII. Se descubrieron una serie de problemas aislados que luego jugaron un papel importante en la formación de la topología.
En matemáticas, el problema de los siete puentes de Königsberg, el teorema de Euler para los poliedros y el problema de los cuatro colores son cuestiones importantes en la historia de la topología.
Königsberg (ahora Kaliningrado, Rusia) es la capital de Prusia Oriental, atravesada por el río Pregel. En el siglo XVIII se construyeron siete puentes sobre el río que conectaban las dos islas situadas en el centro del río con la orilla del río. La gente suele caminar sobre él en su tiempo libre. Un día alguien preguntó: ¿Podemos caminar sobre cada puente una sola vez y finalmente volver a la posición original? Esta pregunta parece sencilla e interesante, lo que atrae a todos. Mucha gente está probando varios métodos, pero nadie puede hacerlo. No parece tan fácil obtener una respuesta clara e ideal.
En 1736, alguien se acercó al gran matemático Euler con este problema. Después de pensar un poco, Euler rápidamente dio la respuesta de una manera única. Euler primero simplificó el problema y luego usó puntos y líneas para representar el diagrama de la carretera y el puente en el problema de los siete puentes. Consideró las dos islas y la orilla del río como cuatro puntos respectivamente, y consideró los siete puentes como las líneas de conexión entre estos cuatro puntos. La pregunta entonces se simplifica a: ¿puedes dibujar esta forma de un solo trazo? Después de un análisis más detallado, Euler concluyó que era imposible atravesar todos los puentes y terminar de nuevo en la posición original. Y se dan las condiciones que se dan todos los gráficos que se pueden dibujar de un solo trazo. Este es el "pionero" de la topología.
En la historia del desarrollo de la topología, existe otro famoso e importante teorema sobre los poliedros que también está relacionado con Euler. El contenido de este teorema es: Si el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo son todos V, entonces siempre tienen la siguiente relación: f+v-e=2. Sólo hay cinco poliedros regulares
Según el teorema de los poliedros de Euler, podemos sacar un dato interesante: sólo hay cinco poliedros regulares. Son el tetraedro regular, el hexaedro regular, el octaedro regular, el dodecaedro regular y el icosaedro regular.
El famoso "problema de los cuatro colores" también está relacionado con el desarrollo de la topología. El problema de los cuatro colores, también conocido como conjetura de los cuatro colores, es uno de los tres principales problemas matemáticos del mundo moderno.
La conjetura de los cuatro colores fue propuesta por el Reino Unido. En 1852, Francis Guthrie, graduado de la Universidad de Londres, llegó a una unidad de investigación científica para colorear mapas y descubrió un fenómeno interesante: "Parece que cada mapa se puede colorear con cuatro colores, de modo que las mismas fronteras de los países se colorean". con diferentes colores”.
En 1872, el matemático británico más famoso, Kelly, planteó formalmente esta cuestión a la Sociedad Matemática de Londres, y la conjetura de los cuatro colores se convirtió en un motivo de preocupación para la comunidad matemática mundial. Muchos de los principales matemáticos del mundo han participado en la gran batalla de la conjetura de los cuatro colores. En los dos años comprendidos entre 1878 y 1880, dos famosos abogados y matemáticos, Kemp y Taylor, presentaron artículos que demostraban la conjetura de los cuatro colores y anunciaron que habían demostrado el teorema de los cuatro colores. Pero más tarde, el matemático Hurwood señaló que la demostración de Kemp y sus propios cálculos precisos estaban equivocados. Pronto, la prueba de Taylor también fue refutada. Como resultado, la gente empezó a darse cuenta de que esta pregunta aparentemente simple era en realidad un problema difícil comparable a la conjetura de Fermat.
Desde el siglo XX, los científicos han seguido básicamente las ideas de Kemp para demostrar la conjetura de los cuatro colores. Después de la llegada de las computadoras electrónicas, el proceso de demostración de la conjetura de los cuatro colores se aceleró enormemente debido al rápido aumento de la velocidad de cálculo y la aparición del diálogo entre humanos y computadoras. En 1976, los matemáticos estadounidenses Appel y Haken pasaron 1200 horas en dos computadoras diferentes en la Universidad de Illinois, hicieron 100 mil millones de juicios y finalmente completaron la demostración del teorema de los cuatro colores. Sin embargo, muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras. Creen que debería haber un método simple y claro de prueba escrita.
Todos los ejemplos anteriores están relacionados con figuras geométricas, pero estos problemas son diferentes de la geometría tradicional, pero tienen algunos conceptos geométricos nuevos. Éstos fueron los precursores de la "topología".
= = = = = = = = = ¿Qué es la topología? ===============
El nombre en inglés de topología es Topology, que se traduce literalmente como geografía, similar a topografía y geomorfología. En la antigua China, se traducía como "geometría situacional", "geometría continua" y "geometría bajo el grupo de transformación continua uno a uno". Pero estas traducciones no son fáciles de entender. La terminología matemática unificada de 65438 a 0956 lo identifica como topología, que es una transliteración.
La topología es una rama de la geometría, pero esta geometría es diferente de la geometría plana habitual y la geometría sólida. Habitualmente el objeto de estudio en geometría plana o geometría sólida es la relación posicional entre puntos, líneas y superficies y sus propiedades métricas. La topología no tiene nada que ver con las propiedades de medición y las relaciones cuantitativas de la longitud, tamaño, área y volumen de los objetos de investigación.
Por ejemplo, en geometría plana ordinaria, si una figura en el plano se mueve sobre otra figura, si coinciden completamente, entonces las dos figuras se llaman conformes. Sin embargo, la figura estudiada en topología cambia en movimiento, independientemente de su tamaño o forma. En topología no hay elementos que no se puedan doblar y el tamaño y la forma de cada figura se pueden cambiar. Por ejemplo, cuando Euler resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg, no consideró su tamaño ni su forma, sino sólo el número de puntos y líneas. Estos son los puntos de partida del pensamiento topológico.
¿Qué son las propiedades topológicas? Primero introducimos la equivalencia topológica, que es una propiedad topológica fácil de entender.
En topología no se discute el concepto de congruencia entre dos grafos, pero sí el concepto de equivalencia topológica. Por ejemplo, aunque los círculos, cuadrados y triángulos tienen diferentes formas y tamaños, todos son diagramas equivalentes bajo transformación topológica. Las tres cosas de la izquierda son topológicamente equivalentes, en otras palabras, son exactamente iguales desde un punto de vista topológico.
Selecciona algunos puntos de una esfera y conéctalos con líneas que no se cruzan, de modo que la esfera quede dividida en muchos pedazos por estas líneas. Bajo transformación topológica, el número de puntos, líneas y bloques sigue siendo el mismo que el número original, lo cual es equivalencia topológica. En términos generales, para una superficie cerrada de cualquier forma, siempre que la superficie no se rasgue ni corte, su transformación es un cambio topológico y existe equivalencia topológica.
Cabe señalar que el toroide no tiene esta propiedad. Por ejemplo, si el toroide se corta como se muestra a la izquierda, no se dividirá en muchos pedazos, sino que se convertirá en un barril curvado. En este caso, decimos que la esfera topológicamente no puede convertirse en un toro. Por tanto, la esfera y el toro son superficies topológicamente diferentes.
Las relaciones de combinación y orden entre puntos y líneas en una línea recta permanecen sin cambios bajo la transformación topológica, que es una propiedad topológica. En topología, las propiedades cerradas de curvas y superficies también son propiedades topológicas.
Los planos y superficies curvas de los que solemos hablar suelen tener dos caras, al igual que un trozo de papel tiene dos caras. Pero el matemático alemán Möbius (1790 ~ 1868) descubrió la superficie de Möbius en 1858. Esta superficie no se puede pintar con colores diferentes por ambas caras.
Existen muchas invariantes e invariantes de transformación topológica, que no se presentarán aquí.
Después del establecimiento de la topología, también se desarrolló rápidamente debido a las necesidades de desarrollo de otras disciplinas matemáticas. Especialmente después de que Riemann fundó la geometría riemanniana, utilizó el concepto de topología como base de la teoría analítica de funciones, promoviendo aún más el progreso de la topología.
Desde el siglo XX, la teoría de conjuntos se ha introducido en la topología, abriendo una nueva mirada a la topología. La topología se convierte en el concepto correspondiente a cualquier conjunto de puntos. Algunos problemas de topología que requieren una descripción precisa se pueden analizar mediante conjuntos.
Debido a que una gran cantidad de fenómenos naturales son continuos, la topología tiene la posibilidad de estar ampliamente conectada con diversas cosas prácticas. A través del estudio de la topología, podemos aclarar la estructura establecida del espacio y comprender la relación funcional entre espacios. Desde la década de 1930, los matemáticos han llevado a cabo investigaciones más profundas sobre topología y han propuesto muchos conceptos nuevos. Por ejemplo, conceptos como estructura consistente, distancia abstracta y espacio aproximado. Hay una rama de las matemáticas llamada geometría diferencial. Las herramientas diferenciales se utilizan para estudiar la curvatura de líneas y superficies cerca de un punto, y la topología estudia las conexiones globales de las superficies. Por tanto, debería existir alguna conexión esencial entre estas dos disciplinas. En 1945, el matemático chino Chen Shengshen estableció la conexión entre la topología algebraica y la geometría diferencial, promoviendo el desarrollo de la geometría global.
Hasta el día de hoy, la topología se ha dividido teóricamente en dos ramas. Una rama se centra en los métodos analíticos, llamados topología de conjuntos de puntos o topología analítica.
Otra rama se centra en los métodos algebraicos y se llama topología algebraica. Ahora, las dos ramas tienen una tendencia unificada.
La topología se utiliza ampliamente en análisis funcional, teoría de grupos de Lie, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales y muchas otras ramas de las matemáticas.