Problema de matemáticas, ¡date prisa! ! ! !
El contenido principal de esta sección son las propiedades de triángulos semejantes, que también es uno de los contenidos principales de este capítulo. Sobre la base del estudio de la determinación de triángulos similares, estudie más a fondo las propiedades de los triángulos para completar un estudio completo de la definición, determinación y propiedades de los triángulos similares.
1. Propiedades de los triángulos semejantes
(1) Los ángulos correspondientes de los triángulos semejantes son iguales y las proporciones correspondientes son proporcionales.
(2) Las razones de triángulos semejantes con respecto a sus alturas, a sus líneas centrales y a sus bisectrices son todas iguales a la razón de similitud.
(3) La razón de perímetro de triángulos semejantes es igual a la razón de similitud.
Los elementos anteriores se pueden resumir de la siguiente manera: la proporción de segmentos de línea correspondientes en triángulos similares es igual a la proporción de similitud.
(4) La razón de las áreas de triángulos similares es igual al cuadrado de la razón de similitud de triángulos similares.
2. Aplicación de propiedades de triángulos semejantes.
(1) se puede utilizar para demostrar que los segmentos de recta son proporcionales (o segmentos de área iguales) y que los ángulos son iguales.
(2) Encuentra elementos desconocidos (lados, alturas, bisectrices, líneas medias, ángulos) de algunos elementos conocidos en triángulos similares.
(3) Se utiliza para calcular perímetro, área, etc.
(4) se utiliza para demostrar la división igual (o relación de área) de segmentos de línea.
Análisis de puntos clave y dificultades
El ejemplo 1 se muestra en la Figura 5.5-1. Se sabe que △ABC∽△a′b′c′, los puntos d y d′ son los puntos medios de BC y b′c′, AE⊥BC está en e, a′e′⊥b′c′ está en e
El análisis requiere que △ADE sea similar a △a′d′e′, y que estos dos triángulos sean triángulos rectángulos. Para juzgar el teorema de similitud de los triángulos rectángulos, solo necesitas demostrar que la hipotenusa y el triángulo rectángulo son proporcionales. La hipotenusa y el triángulo rectángulo son exactamente la línea media y la altura de △ABC y △a′b′c′ respectivamente (es decir. es decir, los segmentos de recta correspondientes a los dos triángulos semejantes).
Está demostrado que: △ABC∽△a′b′c′ad y a′d′ son la línea media respectivamente, y AE y a′e′ son la altura respectivamente.
∴= =∴rt△ade∽rt△a′d′e′
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 5.5-2. En △ABC, EF‖BC, ef = BC = 2cm, la circunferencia de △AEF es 10cm. Encuentra el perímetro del trapezoide BCFE.
En el análisis, podemos obtener = de EF= BC, que es la relación de similitud, y luego obtener el perímetro de △ABC a partir de las propiedades de triángulos similares. La diferencia entre los dos perímetros más la longitud de EF es el perímetro del trapezoide BCFE.
Solución: ef = BC∴ =
BC∴△AEF∽△ABC
∴ = =
∴ =< /p >
Perímetro de ∴△ABC = 15 (cm)
Perímetro de ∴ del trapecio BCFE = △Perímetro de ABC-Perímetro de △AEF+2EF
=15 -10 +4=9(cm)
El ejemplo 3 se muestra en la Figura 5.5-3. En △ABC, DE‖BC, s △ ade ∶ s △ ABC = 4 ∶ 9, ① encuentre AE∶EC ② encuentre S△ADE∶S△CDE.
Este artículo analiza las propiedades de triángulos semejantes, sus proporciones combinadas y la fórmula para calcular el área de un triángulo. La relación se obtiene mediante =, y luego las alturas de AE:EC, △ADE y △CDE se obtienen a partir de las propiedades proporcionales. AE:EC se obtiene de la fórmula de cálculo del área del triángulo.
Solución: ① Columbia Británica ∴△ADE∽△ABC
∴ = ∴ =
∴ = =
Es decir =
②Conecte el CD, cruce d con DH⊥AC, cruce AC con h
= = =
El ejemplo 4 se muestra en la Figura 5.5-4, se sabe Si m es el punto medio del lado AB de ABCD y CM intersecta a BD en el punto E, entonces ¿cuál es la razón entre el área sombreada en la figura y el paralelogramo ABCD?
Esta es una pregunta de prueba integral que prueba las propiedades de triángulos similares, el cálculo de áreas y el teorema de áreas iguales, etc. Supongamos que DN⊥AB está en n, e está en f y GF⊥AB está en f.
∫M es el punto medio de AB.
∴S△AMD=S△DMB= S△ABD= S□ABCD
∫s△MBD = s△MBC (dos triángulos con la misma altura de base tienen la misma área )
∴ s △ MBD-s △ MBE = s △ MBC-s △ MBE, es decir, s △ DME = s △ CBE.
∵MB‖DC,∴△BEM∽△DEC
= =, por lo tanto =
∵DN=GF,∴ =
Aquí viene de nuevo:= =
∴ =, es decir, S△DME= S△MBD.
∴S△DME= × S□ABCD= S□ABCD
∴s△dme+s△bmc= s□ABCD+s□ABCD = s□ABCD
Por lo tanto, la relación entre el área sombreada y el área del paralelogramo en la Figura 5.5-4 es.
Ejemplo 5 Como se muestra en la Figura 5.5-5, extienda el lado BC del cuadrado ABCD hasta E, de modo que CE = AC, AE y DC se intersequen en el punto F, y encuentre el valor de CE:FC .
Esta es una pregunta que pone a prueba la capacidad de utilizar las propiedades de triángulos semejantes para resolver problemas. Supongamos que la longitud del lado ABCD del cuadrado es A, entonces AC = A, AB = A, BE =+1) A.
Solución: ∫DC‖ab, ∴△ECF∽△EBA, =, por lo tanto = =+1, es decir, EC ∶ FC = (+1) ∶ 1.
El ejemplo 6 se muestra en la Figura 5.5-6, □ABCD, donde E es un punto arriba de BC, AE intersecta a BD en el punto F, se sabe que Be ∶ EC = 3 ∶ 1, S △ FBE = 18, Encuentre S△FDA.
Al analizar las condiciones dadas, podemos obtener fácilmente △FBE∽△FDA. Entonces, de Be ∶ EC = 3 ∶ 1, podemos obtener fácilmente Be ∶ AD = 3 ∶ 4. Como la razón de área de triángulos similares es igual al cuadrado de la razón de similitud, obtenemos S△FDA.
Solución: De □ABCD, obtenemos BE‖AD ∴△FBE∽△FDA.
∵BE∶EC=3∶1 ∴BE∶BC=3∶4
∵ BC = AD, ∴ relación: AD = 3: 4.
∴ = () 2, es decir, = () 2.
∴S△FDA= =32.
Formas ingeniosas de resolver dificultades
El ejemplo 1 se muestra en la Figura 5.5-7. En △ABC, ∠ACB = 90°, BC = 8 cm, AC = 6 cm, C es el centro del círculo y CA es el radio. Entonces, ¿cuál es la longitud de AD?
El análisis de esta pregunta es una pregunta integral. Los puntos de conocimiento evaluados incluyen el juicio y las propiedades de triángulos similares, las propiedades de triángulos isósceles, etc. Al solicitar AD, encontramos que △CAD es un triángulo isósceles después de unir CD, y necesitamos la longitud de la base del triángulo isósceles. Entonces, si pensamos en CE⊥AB en e, AE=AD, si podemos encontrar la longitud de AE, el problema está resuelto. Por lo tanto, sólo necesitamos demostrar que △ AEC ≁.
Solución: hacer CE⊥AB en la clave e y conectar el CD.
CA = CD
∴ AE = AD, es decir, AD = 2AE.
AB = 10 se obtiene a partir de las condiciones conocidas y del Teorema de Pitágoras.
∠∠ACB = ∠AEC, ∠A=∠A
∴△AEC∽△ABC
∴ =
∴ ac2 = AE ab, es decir, 62 = AE×10.
Entonces AE = 3,6 (cm)
∴AD=7,2 (cm)
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 5.5-8. En △ABC, DE‖BC, toma un punto f de AB, de modo que S △ BFC = S △ Ade, verifica: Ad2 = AB BF.
Evidencia: BC∴△ADC∽△ABC.
∴ =
∴s△ade=s△bfc :=
Y = =
= = BF, es decir, Ad2 = AB BF.
Abrazo: La clave para resolver este problema es utilizar las propiedades de triángulos similares y la fórmula de cálculo del área de los triángulos para encontrar la fórmula de proporción o fórmula del producto.
El ejemplo 3 se muestra en la Figura 5.5-9. El rectángulo FGHN está inscrito en △ABC, f y g están en BC, n y h están en AB y AC respectivamente, AD⊥BC está en d, NH está en e, AD = 8 cm, BC = 24 cm, NF ∶ NH = 1:2. Encuentra el área de este rectángulo.
Solución: ∴△ANH∽△ABC Columbia Británica
AE y AB son las alturas de △ANH y △ABC respectivamente.
∴ =
Supongamos nf = x, entonces NH = 2x.
AE=AD-ED=8-x
∴ =
Solución: x = 4.8
∴2X=9.6 p>
∴S Coordenadas cartesianas ABCD = NH NH = 9.6× 4.8 = 46.08 (cm) 2
Guía: Utilice las propiedades de triángulos semejantes para obtener una fórmula proporcional y luego convierta las fórmula proporcional en Convierta varios números desconocidos en un número desconocido y utilice métodos algebraicos para resolver algunos problemas de cálculo. Es una forma importante de resolver problemas.
Resolución de problemas de libros de texto
El ejemplo 1 se muestra en la Figura 5.5-10. En el rectángulo ABCD, AB = a, BC = B, m es el punto medio de BC, DE⊥AM y e son los pies verticales. Verificar:DE=. (P248B.2).
El análisis muestra que de △ADE∽△MAB podemos obtener AD ∶ AM = DE ∶ AB, DE está relacionado con A y b
Demostración: Según el ángulo recto. ABCD, ∠ B = 90 ad ‖ a.C.
∴∠DAE=∠AMB
∵DE⊥AM ∴∠DEA=∠B=90
∴△ade∽△mab :=
ad = a, ab = b, m es el punto medio de BC.
∴AM= = =
∴DE= =
Análisis de tendencias de propuestas
El enfoque de esta parte del ingreso a la escuela secundaria El examen es el uso integral de triángulos similares. Calcular y probar conocimientos geométricos, como determinaciones y teoremas de propiedades, generalmente demostrando segmentos de línea proporcionales, segmentos de línea de áreas iguales y encontrando las longitudes de los lados y áreas de los triángulos.
Temas candentes típicos
El ejemplo 1 se muestra en la Figura 5.5-11. En □ABCD, AE ∶ EB = 1 ∶ 2, S △ AEF = 6 cm2, luego el valor de S. △CDF para().
a . 12 cm2 b . 24 cm2 c 54 cm2 d 15 cm2
El análisis es similar al ejemplo anterior, pero con algunos cambios. De AE ∶ EB = 1 ∶ 2, AE ∶ AB = 1 ∶ 3.
Solución: ∫□AB=CD, ab = CD, ∴ AE ∶ CD = 1:3.
∵AE‖CD,∴△AEF∽△CDF
∴ =( )2,
Es decir = () 2
∴ s △ CDF = 54 (cm) 2, entonces c.
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 5.5-12. En △ABC, AB = 7, AD = 4, ∠ ACD = ∠ B, encontrar el valor de CA.
Analiza esta pregunta y examina tu capacidad para aplicar las propiedades básicas de triángulos semejantes.
Solución: ∫∠A es el ángulo ∠ ACD = ∠ B,
∴△ACD∽△ABC ∴ =,
Es decir, ac2 = ad ab.
∴AC=
=
= 2 (menos las raíces).
El ejemplo 3 se muestra en la Figura 5.5-13, en el cuadrilátero △ABC, DE‖BC, S△ADE∶S BCED = 1 ∶ 2, BC = 2. Encuentra la longitud de DE.
Analiza esta pregunta y examina tu capacidad para aplicar las propiedades de triángulos semejantes para resolver problemas prácticos de cálculo.
∵DE‖BC,∴△ADE∽△ABC.
La longitud de DE es necesaria, porque se conoce la longitud de BC, por lo que solo se calcula el valor de la relación de similitud necesario. Del cuadrilátero S△ADE∶S BCED = 1∶2, se puede ver que S△ade∶S△ABC=1∶3. No es difícil encontrar la relación entre la proporción de áreas y la proporción de similitud de triángulos similares. Las ideas para resolver problemas son fluidas.
Solución: ∫S△ADE: S cuadrilátero BCED = 1:2.
∫S△ADE∽S△ABC = 1:3
Y BC\de\u años,
∴△ADE∽△ABC.∴ DE ∶BC=1∶
∫ BC=2 ∴DE= =2
El ejemplo 4 se muestra en la Figura 4.4-14. El vértice C que pasa por △ABC está con AB respectivamente. La línea recta donde el lado y la línea media AD se cruzan en los puntos F y E. La intersección D es donde DM‖FC cruza AB en el punto m.
(1) Si S△AEF∶S cuadrilátero MDEF = 2:3, Encontrar AE: ed;
(2) Verificación: AE FB = 2af ed.
Análisis (1) Esta es una prueba de habilidad integral. Si existen condiciones paralelas en la prueba, se encontrarán triángulos similares. Las razones de área dadas en la prueba se pueden convertir en razones de área de triángulos similares. Con la razón de áreas, podemos obtener la razón de similitud y luego transformarla para resolver (1). (2) Demuestre que la fórmula de producto igual se puede convertir en la fórmula de razón igual, que en realidad es una línea paralela.
Solución: (1)∫S△AEF∶S cuadrilátero MDEF = 2: 3.
∴S△AEF∴S△ADM=2∶5
∫DM‖cf ∴△aef∽△adm
∴ =
= = =
Entonces AE ∶ ed = (+2) ∶ 3.
(2) Demuestre: ∫DM‖cf∴=
∴ =
∫d es el punto medio de BC ∴M es el punto medio de FB, que es 2fm = FB.
∴ =, es decir, AE FB = 2af ed.
Ejercicios intensivos de esta semana:
Ejercicios de esquema sincronizados
1. Rellena los espacios en blanco
1. lados de triángulos semejantes es 1 ∶3, entonces su razón de área es.
2. Dado que la razón de similitud de dos triángulos semejantes es, la razón de sus alturas correspondientes es.
3 Como se muestra en la Figura 5.5-15, en △ABC y △BED, si = =, y la diferencia entre las circunferencias de △ABC y △BED es de 10 cm, entonces la circunferencia de △ABC es. centímetro.
Figura 5.5-15Figura 5.5-16
4 Si la relación de similitud de dos triángulos semejantes es 2:3 y la suma de sus áreas es 13 cm2, entonces sus áreas son respectivamente. Sí.
5. Como se muestra en la Figura 5.5-16, se sabe que C es un punto en la línea AB, y que △ACM y △BCN son triángulos equiláteros. Si AC = 3, BC = 2 y BM pasa de CN a D, la relación de área de △MCD a △BND es.
6. Si la proporción de alturas de dos triángulos semejantes es 4:5, entonces su proporción de áreas es 4:5.
7. La proporción de áreas de dos triángulos semejantes es 1:9, por lo que su correspondiente proporción de alturas es.
8. Como se muestra en la Figura 5.5-17, en △ABC, DE‖BC, =, y s △ ABC = 8cm2, entonces s △ ade = cm2.
9. Si la razón de similitud de dos triángulos semejantes es 2:3, entonces su razón de área es.
10. Si la proporción de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes es 4:5 y la suma de los perímetros es 18 cm, entonces los perímetros de los dos triángulos son cm y cm respectivamente.
2. Preguntas de opción múltiple
1. Como se muestra en la Figura 5.5-18, DE‖BC y =, entonces la relación de área de △ADE y △ABC es s △ ade. : s △ABC =().
A.2∶5 B.2∶3 C.4∶9 D.4∶25
2 Como se muestra en la Figura 5.5-19, △ABC∽△ACD, una relación similar es 2, entonces la relación de área S△BDC:S△DAC es ().
a . 4:1 b . 3:1 c 2:1d 1:1
3 Dado que los perímetros de dos triángulos semejantes son 8 y 6, respectivamente. la relación de área es ().
A.4∶3 B.18:9 C.2: D
4 Cuando la razón de área de dos triángulos semejantes es 1: 2, la razón de perímetro es ( ) .
A.b . ⊥AB está en En d, la siguiente fórmula es incorrecta ().
A.AC2 = AD AB B . BC2 = BD BA C . CD2 = AD DB AB2 = AC BC
6. 90, CD⊥AB, el pie vertical es d, sea BC = A, AC=b, si AB = 16, CD = 6, A-B = ().
A.4 B. 8 C.8 D.4
7. Dos triángulos que cumplan las siguientes condiciones deben ser congruentes ()
Uno semejante y La razón mediana correspondiente es igual a 1 B. Ambos lados son iguales a una de las diagonales.
C. Estos tres ángulos son iguales. d. Las alturas de los dos lados y del tercer lado son iguales.
8. En el cuadrado de ABCD, e es el punto medio de AB, y BF⊥CE está en f, entonces S△BFC∶S cuadrado ABCD es igual a ().
1:3 b . 1:4 c . 1:5d 1:8
9 Como se muestra en la Figura 5.5-21, divida la altura AD de △ABC. partes iguales El triángulo se divide en tres partes iguales pasando cada bisectriz paralela a la base. Supongamos que las áreas de estas tres partes son S1, S2 y S3 respectivamente, entonces S1: S2: S3 es igual a ().
a . 1:2:3 b 2:3:4 c 1:3:5d . , en △ABC, ∠CBA = 90°, BD⊥AC en d, entonces el incorrecto en la siguiente relación es ().
A.BD2 = AD AC B. BD2 = AD DC C.AB2=AC2-BC2 D.AB2=AC BC
En tercer lugar, responde la pregunta
1 Como se muestra en la Figura 5.5-23, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ B = ∠B=∠D, AB = DE = 5, BC = 4.
(1) Verificar: △ABC∽△ade; (2) Calcular la longitud de AD.
2. Como se muestra en la Figura 5.5-24, ∠ c = 90 en Rt△ABC, CD⊥AB en d, verifique Cd2 = ad db.
3. Como se muestra en la Figura 5.5-25, en □ABCD, BC = 2ce, encuentre: S△CEF:S□ABCD.
4 Como se muestra en la Figura 5.5-26, se sabe que ED⊥AB, AC⊥EB, d, c son los pies verticales, g es un punto por encima de DE, AG⊥BG y el los pies verticales son G. ED, AC satisface f verificación: dg2 = de df.
5. Como se muestra en la Figura 5.5-27, en el triángulo isósceles AB=AC, AB = AC, AD⊥BC está en d, CG‖AB y BG están en e y f respectivamente. BE2 = EF EG
Entrenamiento de optimización de la calidad
Como se muestra en la Figura 5.5-28, en △ABC, BC = 24, altura AD = 12, dos vértices del rectángulo EFGH E y F están en BC, y los otros dos vértices G y H están en AC y AB respectivamente, EF ∶ EH = 4 ∶ 3. Encuentra las longitudes de ef y eh.
Aplicación práctica en la vida
Hay secciones paralelas a ambos lados de un río. Hay un árbol cada 5 metros de este lado del río y hay un poste de teléfono cada 50 metros del otro lado del río. Mirando al otro lado del río, a 25 metros de la orilla, se puede ver que los dos postes telefónicos adyacentes en el otro lado están cubiertos por los dos árboles aquí, con tres árboles en el medio. Por favor pregunte sobre el ancho del río.
Exploración y aprendizaje de conocimientos
Como se muestra en la Figura 5.5-29, al apuntar, se requiere que la muesca en la escala del arma forme una línea a lo largo del centro A, que es el punto de mira C (imagen de arriba) Línea recta para que puedas alcanzar el objetivo. Se sabe que la longitud base AB de la metralleta es de 38,5 cm. Si la distancia de disparo AC = 100 m, cuando la desviación del punto de mira BB' en el espacio es de 1 mm, se producirá la desviación del impacto.
Respuestas de referencia
1.1:92 3 25 4,4 centímetros cuadrados y 9 centímetros cuadrados 5,9: 46,16: 257
. ∶9 10,8 cm, 10 cm
Dos, 1. D2 B4.
Tres. 1. ① Omitir ②
2. Certificado △ACD∽△CBD
3.1:12
4 Primero pruebe △ADF∽△EDB. △AGD∽△GBD.
5. Número par EC, certificado △ FEC △ CEG
Entrenamiento de optimización de la calidad ef = 9,6 eh = 7,2
El río tiene 37,5 metros de ancho.
La desviación de influencia cc’ del aprendizaje por indagación del conocimiento es de aproximadamente 26,0 cm