Cómo resolver una ecuación cuadrática de una variable
Edite la explicación adicional de este párrafo.
1. Esta parte del conocimiento es conocimiento matemático elemental, generalmente aprendido en el segundo grado de la escuela secundaria. (Pero generalmente las funciones cuadráticas y las funciones proporcionales inversas implicarán la solución de ecuaciones cuadráticas de una variable). 2. Esta parte es un punto importante en el examen de ingreso a la universidad. 3. Los dos elementos de la ecuación tienen la siguiente relación con los números de la ecuación: X1+X2= -b/a, x1 x2 = c/a (también llamado teorema de Vietta) 4. Cuando los dos elementos de la ecuación son X1, la ecuación es: /p>
Fórmula general
ax ^ 2+BX+C = 0 (A, B, C son números reales, a≠ 0) Por ejemplo: x ^ 2+2x+1 = 0. /p>
Patrón coincidente
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^ 2
Tipo de raíz doble
Solución general de a(x-x1)(x-x2)=0
Método de descomposición factorial
.El método de descomposición factorial se puede dividir en "método de factor común aumentado", "método de fórmula" (dividido en fórmula de diferencia de cuadrados y fórmula de cuadrado perfecto) y "multiplicación cruzada" que se obtiene descomponiendo los factores izquierdos de la ecuación. El contenido de la factorización se aprendió en el primer semestre del grado 8. Resuelve la ecuación: x 2+2x+1 = 0. Usa los factores de la fórmula del cuadrado perfecto: (x+1 ﹚ 2 = 0. Resuelve la ecuación. x? )-3(x+1)=0 Solución: Utilice el método de elevar el factor común para obtener: (x-3)(x+1)=0, es decir, x-3=0 o X+66. =3. -1 3. Resuelve la ecuación x 2-4 = 0. Solución: (x+2)(x-2)=0 x+2=0 o x-2=0 ∴ x =-2, x? = 2 multiplicación cruzada? Fórmula: x ^ 2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)Ejemplo: 1. A b+ B2+A-B-2 = A b+ A+B2-B- 2 = A(B +652-B-2
2. Método de fórmula
(Puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable) Primero, juzgue la variable a través del discriminante de la raíces de δ = b 2-4ac ¿Cuántas raíces tiene la ecuación cuadrática? Cuando δ = b 2-4ac cuando x es 0, hay dos raíces reales diferentes una vez completado el juicio, si la ecuación tiene raíces; pertenece a 2 o 3 casos, puede encontrar las raíces de la ecuación según la fórmula: x = {-b √ (b 2-4ac)}/2a
3. >
(Puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable. ) Por ejemplo, para resolver la ecuación: solución x 2+2x-3 = 0: mueva el término constante a: x 2+2x = 3 y sume 1 a ambos lados de la ecuación (para formar una forma completamente plana): x 2+2x+1 = 4 Factorización: (.=-3, x?=1 Utilice el método de colocación para resolver la ecuación cuadrática de una variable; los coeficientes cuadráticos deben desplazarse hacia la derecha una vez, y los más equivalentes deben agregarse a ambos lados de la mitad de los coeficientes.
4. Método abierto
(ecuación cuadrática parcial soluble) Para ejemplo: x 2-24 = 1 solución: x 2 = 25 x = 5 ∴ x? =5 x? /p>
5. Método de sustitución de medias
(Ecuación cuadrática parcial soluble) ax ^ 2+bx+c = 0 y al mismo tiempo dividimos por a, obtenemos x ^ 2+bx/ a+c/a = 0. =-b/(2a)+m,x? =-b/(2a)-m (m≥0)según X? ¿X? =c/a va a m. Luego va a x? ,¿X? . Por ejemplo: x ^ 2-70x+825 = 0, el valor promedio es 35, sea x? =35+m,x? =35-metro (m≥0) x? ¿X? =825, entonces m=20, entonces x? =55,x? =15. La relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática (las siguientes dos fórmulas son muy importantes y se usan a menudo en los exámenes) Fórmula general: ax ^ 2+bx+c = dos raíces x de 0? ¿Y qué pasa con x? Relación:x? +x? = -b/ax? ¿X? =c/a
Cómo elegir la solución más simple
1. Vea si se puede resolver factorizando (en factorización, considere primero el método del factor común y luego considere el cuadrado). método de fórmula y finalmente multiplicación cruzada)2. A ver si podemos solucionarlo directamente. 3. Utilice el método de fórmula para resolver. 4. Finalmente, considere el método de configuración (aunque el método de configuración puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas, a veces es demasiado problemático de resolver). Si deseas participar en el concurso, puedes seguir el siguiente orden: 1. Descomposición factorial2. Teorema 3 de Vietta. Discriminante 4. Ecuación 5. Método de emparejamiento 6. Raíz cuadrada 7. Fórmula raíz 8.
representante.
Ejemplos detallados
1. El método de la raíz cuadrada directa: el método de la raíz cuadrada directa es un método para resolver la raíz cuadrada directa de una ecuación cuadrática. Usa el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación de forma (x-m) 2 = n (n ≥ 0). La solución es x = m √ n Ejemplo 1. Resuelve la ecuación (1) (3x+1) 2 = 7 (2) 9x 2-. 0, por lo que esta ecuación también se puede resolver usando el método de raíz cuadrada directa. (1) Solución: (3x+1) 2 = 73x+1 = √ 7x =...∴¿décima vida? =...,x? Solución: 9x 2-24x+16 = 11(3x-4)2 = 113x-4 =√11. =...,x? =...2. Método de comparación: Ejemplo 1 Utilice el método de comparación para resolver la ecuación 3x 2-4x-2 = 0: Mueva el término constante al lado derecho de la ecuación 3x 2-4x = 2 y convierta el coeficiente del término cuadrático en 1:x ^ 2-4/3x = 2/3, suma la mitad de los coeficientes al cuadrado de los términos lineales en ambos lados de la ecuación: x 2 fórmula: (x-2/3) 2 = 10/9 Cuadrado directo. raíz: x-2/3 = √ (65438=, x?=.∴La solución de la ecuación original es x?=,, el valor de C se sustituye en la fórmula de la raíz y se puede obtener la raíz de la ecuación Cuando δ = b 2-4ac >; 0, la fórmula de la raíz es x1 = [-b+√ (b 2-4ac)]/2a, x2 = [-b-√ (b 2-4ac)]/2a (dos. raíces reales desiguales). Cuando δ = b 2-4ac = 0, la fórmula de la raíz es x1 = [-b+ √ (4ac-b 2) i]/2a, x2 = [-b-√ (4ac-b 2) i). ]/2a (dos raíces imaginarias) (Los estudiantes de secundaria entienden que no hay raíces reales) Ejemplo 3. Usa la fórmula para resolver la ecuación 2x . La ecuación es x? = (4+√6)/2, x? = (4-√ 6)/2.4. Método de factorización: deformar la ecuación tiene la forma de cero en un lado y el trinomio cuadrático en el otro. se descompone en el producto de dos factores lineales, de modo que los dos factores lineales son iguales a cero respectivamente, y se obtienen dos ecuaciones lineales. Las raíces obtenidas al resolver estas dos ecuaciones lineales son las dos raíces originales. una ecuación cuadrática se llama factorización. Utilice la factorización para resolver la siguiente ecuación: (1)(x+3)(x-6)=-8(2. )2x 2+3x = 0(3)6x 2+5x-50. = 0(curso electivo)(4) x 2-4x+ =-8 Disposición simplificada X 2-3x-10 = 0(El lado izquierdo de la ecuación es el término cuadrático tres, el lado derecho es cero) (x-5) (x+2)=0 (factor de factorización en el lado izquierdo de la ecuación) ∴x-5=0 o x+2=0 (convertido en dos ecuaciones lineales)=5, x =-2 es la solución de ecuación original (2) Solución: 2x 2+3x = 0x (2x+3) = 0 (factorizar el lado izquierdo de la ecuación elevando el método del factor común) ∴x=0 o 2x+3=0 (convertido en dos lineales ecuaciones) ∴x? =0, x? =-3/2 es la solución de la ecuación original. Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución de x=0 al hacer este tipo de problemas. normalmente tienen dos soluciones (3) Solución: 6x 2+5x-50 = 0(2x-5)(3x+10)= 0 (Presta especial atención al signo al factorizar por multiplicación cruzada. No te equivoques) ∴2x -5=0 o 3x+10=0 ∴x? =5/2, x? =-10/3 es la solución de la ecuación original: x 2-4x+4 = 0 ( x-2) (x-2 ) = 0 ∴x? =2,x? =2 es la solución de la ecuación original.
Resumen
Generalmente, la factorización es el método más común para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Al aplicar la factorización, primero escribe la ecuación en forma general y cambia los coeficientes de los términos cuadráticos a números positivos. El método del cuadrado directo es el método más básico. El método de fórmula y el método de colocación son los métodos más importantes. El método de la fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se usa el método de fórmula, para determinar los coeficientes, la ecuación original debe transformarse a una forma general, y antes de usar la fórmula, se debe calcular el valor del discriminante de la raíz para determinar si la ecuación tiene solución. El método de comparación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, podemos usar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable, por lo que generalmente no es necesario usar el método de combinación para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Sin embargo, el método de emparejamiento se usa ampliamente en el aprendizaje de otros conocimientos matemáticos. Es uno de los tres métodos matemáticos importantes que deben dominarse en las escuelas secundarias y deben dominarse. Hay tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de punto coincidente y método de coeficiente indeterminado.
Desarrollo extracurricular
Una ecuación cuadrática es una ecuación integral que contiene un número desconocido. El grado más alto del número desconocido es cuadrático. La forma general es ax ^ 2+bx+c = 0, (a ≠ 0). Alrededor del año 2000 a.C., aparecieron ecuaciones cuadráticas y sus soluciones en las antiguas tablillas de arcilla babilónicas: Se sabe que la suma de un número y su recíproco es igual a un número dado. El método de cálculo para este número es X1+X2 = B, X1 X2. = 1, X 2-BX+65438+. Se puede ver que los babilonios ya conocían la fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática de una variable.
Pero en ese momento no aceptaron números negativos, por lo que omitieron las raíces negativas. Los documentos en papiro egipcio también incluyen las ecuaciones cuadráticas más simples, como: ax 2 = b. En los siglos IV y V a. C., China dominaba la fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática de una variable. El griego Diofanto (246-330) sólo tomó las raíces positivas de una ecuación cuadrática. Incluso si ambas fueran raíces positivas, solo tomó una de ellas. En el año 628 d.C., la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática x^2+px+q = 0 se derivó del "Sistema Corregido de Brahmaputra" escrito en la India. En "Álgebra" escrita por Al-Hualazimi de Arabia, se analiza la solución de ecuaciones, resolviendo la primera y segunda ecuaciones, involucrando seis formas diferentes, de modo que A, B, C sean números positivos, como por ejemplo AX 2 =Bx,AX2 =C,AX^2+C=Bx,AX^2+Bx=C,AX. Discutir ecuaciones cuadráticas en diferentes formas es consistente con el enfoque de Diophantine. Además de varias soluciones especiales a la ecuación cuadrática, Al-Hua Razimi también dio por primera vez la solución general de la ecuación cuadrática, admitiendo que la ecuación tenía dos raíces y raíces irracionales, pero no conocía las raíces imaginarias. En el siglo XVI, los matemáticos italianos comenzaron a utilizar raíces complejas para comprender las ecuaciones cúbicas. David (1540-1603) no sólo sabía que las ecuaciones de una variable siempre tienen soluciones en el rango de números complejos, sino que también dio la relación entre raíces y coeficientes. Capítulo 9 Teorema de Pitágoras chino aritmético Pregunta 20, encontrar la raíz positiva es equivalente a x 2+34x-71000 = 0. Los matemáticos chinos también utilizaron la interpolación en el estudio de ecuaciones.
Edite el método de identificación de este párrafo
1. Análisis del contenido de la enseñanza La sección "Distinguir fórmulas para raíces de ecuaciones cuadráticas" del nuevo libro de texto de la Universidad Normal del Este de China se utiliza como material de lectura. La derivación y aplicación del teorema son relativamente simples. Pero ocupa una posición importante en todas las matemáticas de la escuela secundaria. No solo puede determinar las raíces de una ecuación cuadrática, sino que también sienta las bases para el aprendizaje futuro de desigualdades, trinomios cuadráticos, funciones cuadráticas y curvas cuadráticas, y puede usarlo. para resolver muchos otros problemas integrales. A través del estudio de esta sección, se cultivará el espíritu de exploración, la capacidad de observación, análisis e inducción de los estudiantes, la capacidad de pensamiento lógico y la capacidad de razonamiento, y se penetrarán en los estudiantes las ideas matemáticas de clasificación y la belleza concisa de las matemáticas. Enfoque docente: correcta comprensión y aplicación del teorema de discriminación y teorema inverso de raíces. Dificultad docente: aplicación del teorema de discriminación y teorema inverso de raíces. Clave didáctica: comprender a fondo las condiciones para el uso del teorema de discriminación de raíces y su teorema inverso. 2. Análisis de la situación académica Los estudiantes han aprendido cuatro soluciones a ecuaciones cuadráticas de una variable y han comprendido funciones. Sobre esta base, aprenderán más funciones, lo que supone una profundización y un resumen de los conocimientos previos. En términos de métodos de pensamiento, los estudiantes están expuestos a ideas matemáticas de discusión e inducción de clasificación. Por lo tanto, podemos cultivar el espíritu de exploración, la capacidad de observación, análisis e inducción de los estudiantes, su capacidad de pensamiento lógico y su capacidad de razonamiento permitiéndoles usar sus manos y su cerebro. tres. Los objetivos de enseñanza se basan en el programa de estudios y el análisis de los materiales didácticos, así como en la base de conocimientos existente de los estudiantes. El objetivo de la enseñanza es comprender la situación raíz. Por eso normalmente usamos el símbolo "△" para representar el discriminante de las raíces de una ecuación cuadrática.
Edite este párrafo para enumerar los pasos para resolver una ecuación cuadrática de una variable.
(1) Analizar el significado del problema y descubrir la relación de equivalencia entre los números desconocidos en el problema y las condiciones dadas en el problema ecuaciones cuadráticas de una variable
( 2) Establecer incógnitas, utilizar expresiones algebraicas de conjuntos de incógnitas para representar las incógnitas restantes (3) Encontrar la relación de la ecuación y utilizarla para enumerar las ecuaciones; (4) Resolver la ecuación para encontrar el valor de la cantidad desconocida en el problema; (5) Verifique si la respuesta se ajusta a Pregunta y respuesta.
Edite este ejemplo clásico.
1. Para la definición de una ecuación cuadrática de una variable, debemos considerar completamente las tres características de la definición, y no ignorar que el coeficiente del término cuadrático no es 0,2. Al resolver una ecuación cuadrática de una variable, el método de solución debe seleccionarse de manera flexible de acuerdo con las características de la ecuación. Primero considere si se pueden usar el método de raíz cuadrada directa y el método de factorización, y luego considere el método de fórmula. 3. Las raíces de la ecuación cuadrática (a≠0). (2) Determinar el rango de raíces en función de las propiedades de los coeficientes de los parámetros; (3) Resolver problemas de prueba relacionados con las raíces. 4. Las raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas tienen muchas aplicaciones: (1) conociendo una raíz de la ecuación, puedes resolver la otra raíz y los coeficientes de los parámetros sin resolver la ecuación (2) conociendo la ecuación, encontrando dos expresiones simétricas El valor; de la expresión algebraica y los coeficientes desconocidos relacionados (3) Dadas dos ecuaciones, encuentre las raíces de una ecuación cuadrática de una variable;
Editar este párrafo, Teorema de Vietta
Vietta (Francois, Seigneur Della Bigoteere) nació en Poitiers en 1540 y murió en París en 1603+02+03. Estudió derecho en Pufa Street en sus primeros años, luego trabajó como abogado y se convirtió en miembro del Parlamento en 1567. Durante la guerra contra España, descifró el código enemigo para el gobierno y se ganó una gran reputación. Uno de los matemáticos franceses más influyentes del siglo XVI. Fue el primero en introducir la notación algebraica de sistemas y mejoró la teoría de ecuaciones. Nació en Poitu en 1540. Murió en París el 13 de diciembre de 1603. Cuando era joven, estudié Derecho y trabajé como abogado. Posteriormente me dediqué a actividades políticas y fui parlamentario. Descifré códigos enemigos para el gobierno durante la guerra con España. David también se dedicó a las matemáticas. Fue el primero en utilizar letras de forma consciente y sistemática para representar números conocidos, números desconocidos y sus potencias, lo que supuso un gran avance para la investigación teórica del álgebra.
David analizó varias transformaciones racionales de las raíces de ecuaciones y descubrió la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación (por eso la gente llama a la conclusión que describe la relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática "teorema de Vietta"). El teorema de Vietta es esencialmente el contenido del teorema de Vietta, la relación entre raíces y coeficientes en ecuaciones cuadráticas de una variable. En la ecuación cuadrática AX^2 + BX + C = 0 (A ≠ 0 y △ = B^2-4ac ≥ 0), si las dos raíces son X1 y X 2 respectivamente, entonces X1 + , para una ecuación de una variable de n∑AIX^I = 0º grado, sus raíces se expresan como X1. Esta relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones algebraicas se llama teorema de Vietta. Este teorema fue derivado por David en el siglo XVI. La prueba de este teorema se basa en los fundamentos del álgebra, pero Gauss no hizo la primera demostración sustancial hasta 1799. Se puede deducir del teorema básico del álgebra que cualquier ecuación de grado n debe tener raíces en un conjunto de números complejos, por lo que. el lado izquierdo de la ecuación se puede descomponer en un rango de números complejos. El producto de factores lineales dentro de: donde está la raíz de la ecuación se obtiene comparando los coeficientes de ambos lados. La prueba del teorema de Vietta supone que x1. y x2 son Hay dos soluciones a la ecuación cuadrática AX ^ 2+BX+C = 0. Hay: a(x-x1)(x-x2)=0, luego comparando los coeficientes podemos obtener ax ^ 2. -a(x 1+x2 )x+ax ^ 1x ^ 2 = 0:-a(x 1+x2)= bax 65433. Entonces es: an (x-x1) (x-x2)...(x -xn) = 0, entonces: an (x-x1) (x-x2)...(x-xn) = ∑ AIX I(cuando está abierto (x-x1) A (n-2) = an (∑ xixj )...A0 = = ( -1) n * an * π xi, entonces: ∑Xi =(-1)1 * a(n-1)/a
Edite este párrafo para usar a computadora para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable
'Método de implementación de VB'Este código solo puede evaluarse de forma general y mostrarse en forma de cuadro de diálogo Dim a, B, C, x1, x2. 'Agregue el proceso de asignación de A, B, C aquí' Por ejemplo: A = Texto1 texto B = texto 3. El código encima de "Texto" se asigna si una
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Matemáticas, Ecuación, Dimensión Teorema de Yetta.
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Explicación complementaria para la definición de ecuación cuadrática de una variable: método de coincidencia de fórmulas generales : dos fórmulas 1. Método de descomposición factorial 2. Método de fórmula 3. Método de emparejamiento 4. Método abierto 5. ¿Cómo elegir el método de solución más simple utilizando el método de sustitución de medias? Ejemplo: Resuma el método de discriminación expandida extracurricular y enumere los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Ejemplo clásico: la computadora del teorema de Vietta resuelve ecuaciones cuadráticas de una variable.