El número de dioses
1. Un juguete popular en todo el mundo
En la primavera de 1974, E. Rubik, profesor de arquitectura en la Escuela de Artes Aplicadas de Budapest, tuvo una interesante idea. Quería diseñar una herramienta de enseñanza que ayudara a los estudiantes a comprender intuitivamente varias rotaciones en geometría espacial. Lo pensó y decidió hacer un cubo de 3×3×3 compuesto de pequeños cuadrados, cada lado del cual podía rotarse a voluntad. Un cubo de este tipo facilita la demostración de diversas rotaciones espaciales.
Aunque esta idea es buena, en la práctica se enfrenta a un problema espinoso: ¿cómo hacer que todos los lados de dicho cubo giren a voluntad? Rubik probó muchas ideas, como usar imanes o bandas elásticas para conectar cuadrados pequeños, pero fracasó. Una tarde de ese verano, estaba disfrutando del clima fresco junto al río Danubio y, sin darse cuenta, sus ojos se posaron en los guijarros junto al río. De repente, se le ocurrió una nueva idea: tratar la estructura interior del cubo con una superficie redondeada que se asemeja a la superficie de un guijarro. La nueva idea tuvo éxito y Rubik rápidamente completó su diseño y solicitó una patente en la Oficina de Patentes de Hungría. Este diseño es el conocido Cubo de Rubik, también llamado Cubo de Rubik) [Nota 1].
Seis años después, el Cubo de Rubik (El cubo de Rubik), liderado por un empresario y matemático aficionado húngaro, entró en los mercados de Europa occidental y Estados Unidos y se convirtió en un juguete de moda que arrasó en todo el mundo a un ritmo alarmante. En los siguientes 25 años, las ventas de cubos de Rubik superaron los 300 millones. Entre los jugadores del Cubo de Rubik hay niños que aprenden a hablar y jefes de empresas multinacionales. Aunque el Cubo de Rubik no se convirtió en una herramienta de enseñanza de la geometría espacial como lo imaginaba Rubik, se convirtió en el juguete más vendido de la historia.
La magia del cubo de Rubik más vendido reside en su asombrosa cantidad de combinaciones de colores. Cuando un cubo de Rubik sale de fábrica, cada lado tiene un color, para un total de seis colores. Pero una vez que estos colores se alteran, el número de combinaciones que se pueden formar llega a 432,5 mil millones [Nota 2]. Si convirtiéramos cada una de estas combinaciones en un cubo de Rubik, entonces estos cubos de Rubik podrían disponerse juntos desde la Tierra hasta el distante cielo estrellado a 250 años luz de distancia. En otras palabras, si ponemos una luz en un extremo de una fila de cubos de Rubik, la luz tardaría 250 años en llegar al otro extremo. Si un jugador diligente quiere probar todas las combinaciones, incluso sin comer, beber o dormir, le llevará 654,38+050 mil millones de años conseguirlo (a modo de comparación, nuestro universo tiene actualmente menos de 654,38+040 mil millones de años). En comparación con esas cifras combinadas, los adjetivos "miles", "cientos de millones" y "miles de millones" comúnmente utilizados por los anunciantes para engañar y engañar a los clientes se han convertido en una rara humildad. Podemos decir con seguridad que incluso si una persona comienza a jugar al Cubo de Rubik de BIGBANG, casi no hay esperanza de restaurar un Cubo de Rubik con colores alterados.
2. El Cubo de Rubik y los "Números Mágicos"
Hay muchos jugadores del Cubo de Rubik y es natural que compitan entre sí. A partir de 1981, los entusiastas del Cubo de Rubik comenzaron a realizar competiciones mundiales del Cubo de Rubik para establecer sus propios récords mundiales. Este registro se actualiza constantemente. En el momento de escribir este artículo, el récord más rápido para resolver un cubo de Rubik, como mencionamos al principio de este artículo, es de unos sorprendentes 7,08 segundos. Por supuesto, los registros individuales recuperados están sujetos a una cierta cantidad de posibilidades. Para reducir esta posibilidad, a partir de 2003, el ganador de la competición del Cubo de Rubik se determina por la puntuación media de múltiples recuperaciones [Nota 3]. El récord mundial actual de este tiempo medio es de 11,28 segundos. La aparición de estos registros muestra que aunque el Cubo de Rubik tiene combinaciones de colores astronómicas, siempre que domines el truco, el número de rotaciones necesarias para restaurar cualquier combinación no es mucha.
Entonces, ¿cuántas rotaciones se necesitan para garantizar que, sin importar qué combinación de colores, se restaure [Nota 4]? Este problema ha despertado el interés de muchas personas, especialmente de los matemáticos. El número mínimo de rotaciones necesarias para restaurar cualquier combinación es apodado por los matemáticos el "número divino", y el Cubo de Rubik, el favorito de la industria del juguete, ha invadido el mundo académico debido a este "número divino".
Para estudiar los "números divinos", por supuesto, primero debes estudiar el método de reducción del Cubo de Rubik. En el proceso de jugar al Cubo de Rubik, la gente sabe desde hace mucho tiempo que es fácil restaurar cualquier combinación de colores determinada, lo que ha sido demostrado por los excelentes registros de innumerables jugadores. Aunque el método de reducción utilizado por los jugadores del Cubo de Rubik es fácil de dominar para el cerebro humano, no tiene un número mínimo de rotaciones, por lo que no es útil para encontrar el "número mágico". Encontrar el método con el menor número de rotaciones es un rompecabezas matemático. Por supuesto, este problema no es difícil para los matemáticos. Ya a mediados de la década de 1990, la gente tenía algoritmos prácticos que podían encontrar el número mínimo de rotaciones para restaurar una combinación de colores determinada en unos quince minutos en promedio. Teóricamente, si alguien pudiera encontrar un número mínimo de círculos para cada combinación de colores, entonces el número más grande sería sin duda el "número mágico". Pero, lamentablemente, esta enorme cantidad de 432,5 mil millones se ha convertido en un obstáculo para que la gente se asome al "número divino".
Si se utiliza el algoritmo mencionado anteriormente, incluso si se utilizan 100 millones de máquinas para el cálculo al mismo tiempo, se necesitarán más de 10 millones de años para completarlo.
Parecía que la fuerza bruta no funcionaría, por lo que los matemáticos recurrieron a su antigua profesión: las matemáticas. Desde un punto de vista matemático, aunque las combinaciones de colores del Cubo de Rubik cambian constantemente, en realidad se producen mediante una serie de operaciones básicas (es decir, rotaciones), y esas operaciones también tienen varias características muy simples, como cualquier operación. tiene una operación opuesta (por ejemplo, la operación opuesta de la rotación en el sentido de las agujas del reloj es la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj). Para este tipo de operaciones, los matemáticos tienen en su arsenal una herramienta muy eficaz. Esta herramienta se llama teoría de grupos y apareció hace más de 140 años, antes del Cubo de Rubik. Se dice que el matemático alemán D. Hilbert dijo una vez que la clave para aprender teoría de grupos es elegir un buen ejemplo. Desde la invención del Cubo de Rubik, los matemáticos han escrito varios libros sobre teoría de grupos utilizando el Cubo de Rubik. Por tanto, aunque el Cubo de Rubik no se ha convertido en una herramienta de enseñanza de la geometría espacial, puede utilizarse hasta cierto punto como un "buen ejemplo" para aprender la teoría de grupos.
Para el estudio del Cubo de Rubik, la teoría de grupos tiene una ventaja muy importante, es decir, puede aprovechar al máximo la simetría del Cubo de Rubik. Cuando mencionamos la enorme cantidad de 432,5 mil millones, en realidad hubo una omisión, es decir, no consideramos la simetría del Cubo de Rubik como un cubo. El resultado es que muchas de las 432,5 mil millones de combinaciones de colores son en realidad iguales, sólo que vistas desde diferentes ángulos (por ejemplo, con diferentes caras hacia arriba). Por lo tanto, la abrumadora cifra de 432,5 mil millones es en realidad “carne de cerdo inyectada con agua”. Entonces, ¿qué porcentaje de "agua" hay en esta "carne de cerdo"? Déjame decirte que para asustar a todos: ¡representa casi el 99%! En otras palabras, los matemáticos pueden reducir las combinaciones de colores del Cubo de Rubik en dos órdenes de magnitud simplemente mediante la simetría [Nota 5].
Pero reducirlo en dos órdenes de magnitud no es suficiente para encontrar el "número divino", porque eso sólo reduce los mencionados 10 millones de años a 100.000 años. Obviamente, 100.000 años es demasiado tiempo para resolver un problema matemático, y no esperamos que nadie utilice 100 millones de computadoras para calcular el número de dioses. Los matemáticos, aunque inteligentes, no son necesariamente ricos en otros aspectos. Quizás lo que realmente puedan utilizar es la máquina que tienen en su escritorio. Por lo tanto, para encontrar el "número mágico", la gente necesita encontrar ideas más inteligentes. Afortunadamente, el poder de las herramientas de la teoría de grupos va mucho más allá de analizar algo tan obvio como la simetría de un cubo. Con su ayuda, rápidamente surgieron nuevas ideas.
3. Buscando el "número de Dios"
En 1992, el matemático alemán H. Kochiemba propuso una nueva idea para encontrar una manera de restaurar el Cubo de Rubik. Descubrió que algunos patrones de rotación básicos del Cubo de Rubik pueden formar sus propias series, y se pueden formar casi 20 mil millones de combinaciones de colores a través de esta rotación [Nota 6]. Utilizando estos 20 mil millones de combinaciones, Ke Xianba descompuso la reducción del Cubo de Rubik en dos pasos: el primer paso es convertir cualquier combinación de colores en una de los 20 mil millones de combinaciones, y el segundo paso es restaurar los 20 mil millones de combinaciones. Si se compara la recuperación del Cubo de Rubik con un barco que navega hacia un destino fijo en el vasto océano, entonces los 20 mil millones de combinaciones de colores propuestas por Ke Xianba son como un área de agua especial: un área de agua especial 20 mil millones de veces más grande que la fija. ubicación. Los dos pasos que propuso son como dejar que el barco navegue primero hasta esa zona de agua especial y luego navegue desde allí hasta el destino fijo. Obviamente, es mucho más fácil encontrar una enorme zona de agua especial en el vasto océano que encontrar ese pequeño destino directamente. Ésta es la ventaja de la nueva idea de Koshanba.
Aun así, estimar el número de dioses mediante el método de Cochaba no es tarea fácil. Especialmente para cálculos rápidos, lo mejor es almacenar el número mínimo de rotaciones para recuperar 20 mil millones de combinaciones de colores (lo que equivale a un mapa de esa "agua especial") en la memoria del ordenador, que requiere unos 300 megabytes de memoria. 300 billones no es una cifra grande hoy en día, pero en el año en que Ke Xianba propuso la nueva idea, la memoria de las máquinas ordinarias era mucho menos de una décima parte. Así que no fue hasta tres años después que alguien utilizó el método de Kochenba para dar el primer resultado de estimación. Su nombre es M. Reid, matemático de la Universidad de Florida Central en Estados Unidos. En 1995, Reid calculó que cualquier combinación de colores en el Cubo de Rubik podría convertirse en una de los 20 mil millones de combinaciones de Cochrane después de hasta 12 rotaciones. Y después de hasta 18 giros, se puede restaurar cualquiera de esos 20 mil millones de combinaciones. Esto significa que cualquier combinación de colores del Cubo de Rubik se puede restaurar girándolo hasta 12+18=30 veces.
Después de obtener los resultados anteriores, Reed rápidamente mejoró sus cálculos y redujo los resultados de 30 a 29, lo que demuestra que el "número divino" no excederá 29. Desde entonces, con el desarrollo de la tecnología informática, los matemáticos han mejorado aún más los resultados de Reid, pero el progreso no ha sido rápido. No fue hasta 11 años después, en 2006, que Silvanus Radu, estudiante de doctorado en el Instituto de Computación Simbólica de la Universidad Johannes Kepler en Austria, elevó este resultado a 27. Al año siguiente, en 2007, los informáticos D. Kunkle y G. Cooperman de la Universidad Northeastern elevaron este resultado a 26. Su trabajo utilizó un sistema informático paralelo, utilizó 7 millones de terabytes de memoria y consumió 8.000 horas de tiempo de computación (equivalente a 24 horas de computación ininterrumpida durante casi un año).
Estos cálculos indican que el “número de dioses” no puede exceder de 26.
Sin embargo, la mayor ventaja de todos estos cálculos, es decir, el uso de la "zona de agua especial" de la presa de Keshan, es también su debilidad más fatal, porque los métodos de reparación que proponen deben pasar por esa zona de agua especial. Pero en realidad, las mejores soluciones para muchas combinaciones de colores no viajan en absoluto a través de esa masa de agua en particular. Por ejemplo, cualquier barco que esté muy cerca de su destino pero que no se encuentre en una zona de aguas especiales obviamente no necesita evitar deliberadamente esa zona de aguas especiales antes de dirigirse al destino, como un vuelo chárter directo desde la provincia china de Taiwán. Por lo tanto, el método de restauración obtenido utilizando las ideas de Kosenba puede no ser el mejor y es muy probable que también se sobreestime la estimación del "número divino".
Pero ¿qué pasa si no se introducen las aguas especiales de Coshenba y la cantidad de cálculo es demasiado grande? Los matemáticos decidieron adoptar un enfoque de compromiso, es decir, ampliar el "área" de esa zona de agua especial, porque cuanto mayor sea el área de agua especial, mayor será la posibilidad de que el mejor camino de recuperación pase por ella (por supuesto, la cantidad del cálculo aumentará en consecuencia). En 2008, Rokic, un experto en informática que había estado investigando durante 15 años, utilizó un método ingenioso equivalente a expandir las aguas especiales de Koshanba miles de veces para lanzar cuatro ataques violentos contra el número de dioses en unos pocos meses. Su estimación se ha reducido de. 25 a 22. Al momento de escribir este artículo, este es el mejor resultado del mundo. Los cálculos de Rokic cuentan con el respaldo de Sony Pictures Imageworks, una productora de efectos especiales cinematográficos que ha producido efectos especiales para películas famosas como "Spider-Man" y ha proporcionado a Rokic el equivalente a 50 años de recursos informáticos informáticos ininterrumpidos.
Así que ahora sabemos que el “número divino” no debe exceder el 22. Sin embargo, aunque las aguas especiales de Rokic son grandes, todavía hay muchas combinaciones de colores. La mejor manera de recuperarse es evitar esa masa de agua en particular. Entonces el "número divino" probablemente sea menor que 22. Entonces, ¿cuánto? Aunque la gente no puede saberlo con certeza, hay varios indicios de que es muy probable que sean 20. Esto se debe a que en todos sus esfuerzos a lo largo de los años, nunca encontraron ninguna combinación de colores que tuviera que pasar por más de 20 vueltas para restaurarse, incluidas las aproximadamente 4 billones de combinaciones de colores que Rokic calculó directamente. Esto muestra que el "número divino" probablemente no sea más que 20. Por otro lado, la gente ha encontrado decenas de miles de combinaciones de colores, que deben restaurarse después de 20 turnos. Se puede ver que el "número mágico" no puede ser inferior a 20. Combinando estos dos aspectos, los matemáticos generalmente creen que el verdadero valor del "número divino" es 20. Por supuesto, "Dios" puede ser sutil y ninguno de nosotros puede garantizar si nos sorprenderá en alguna parte. La única razón por la que tenemos que creer es que el día en que este misterioso "número mágico" se entrelaza con las matemáticas no está demasiado lejos de su llegada.
Anotar...
1. El cubo de Rubik fue nombrado por el propio Rubik, y el cubo de Rubik fue nombrado por la empresa estadounidense de juguetes Ideal Toys. En los países occidentales, el nombre Cubo de Rubik es más popular, mientras que en China, el nombre Cubo de Rubik es más popular. Además, se debe recordar a los lectores que existen muchos tipos de cubos de Rubik y que el cubo de Rubik de 3 × 3 × 3 que se presenta en este artículo es solo el más común.
2. El cálculo concreto es el siguiente: ¡Hay 8 vértices en los pequeños cubos que forman el Cubo de Rubik, y 8 entre ellos! Reemplazo de especies; cada uno de estos vértices tiene 3 colores y 37 combinaciones de orientaciones (debido a limitaciones estructurales, solo 7 vértices del Cubo de Rubik pueden tener orientaciones independientes). Asimismo, ¡el Cubo de Rubik tiene 12 cubos con lados y 12 más en el medio! /2 disposiciones (divididas por 2 porque una vez determinados los vértices del Cubo de Rubik, sólo la mitad de las disposiciones de las aristas son posibles cada una de estas caras tiene dos colores, y hay 211 combinaciones de orientaciones (debido a limitaciones estructurales, sólo 11); Las caras del cubo de Rubik pueden tener orientación independiente). ¡Así que el número total de combinaciones de colores para el cubo de Rubik es 8! ×37×12!×211/2 = 4325200327489856000, aproximadamente 432,5 mil millones. Además, cabe mencionar que si permitimos que el Cubo de Rubik sea desmantelado y reorganizado, las limitaciones estructurales antes mencionadas ya no existirán y el número de combinaciones de colores llegará a 519 mil millones. Sin embargo, un aumento en el número de combinaciones no significa que sea más difícil de recuperar. De hecho, la limitación del número de combinaciones impuesta por la estructura del Cubo de Rubik es la razón principal por la que el Cubo de Rubik es difícil de restaurar. Por ejemplo, con el intercambio de letras adyacentes, hay alrededor de 40 mil millones de combinaciones de 26 letras inglesas, lo que es mucho más que el número de combinaciones de colores del Cubo de Rubik. Sin embargo, mediante el intercambio de letras adyacentes, las 26 letras inglesas dispuestas al azar. de A a Restaurar Z a su disposición original es muy sencillo.
3. En concreto, toma la media de las tres puntuaciones de la mitad de los cinco intentos.
4. Para que esta pregunta tenga sentido, por supuesto, primero debemos definir qué es la rotación. En el estudio matemático del Cubo de Rubik, la rotación se refiere a girar cualquier lado del Cubo de Rubik (incluidos nueve cuadrados pequeños) en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj 90° o 180°. Para cada cara, hay tres rotaciones de este tipo (ahora que lo pienso, ¿por qué no cuatro?). Debido a que el Cubo de Rubik tiene seis lados, existen 18 modos de rotación básicos.
5. Para ser exactos, hay 18 modos de rotación básicos, ¡y la combinación de colores resultante * * * es 8! ×8!×4!/2 (aproximadamente 654,38+09,5 mil millones).