¿Por qué se deben diagonalizar las matrices simétricas reales?

Las matrices simétricas reales deben diagonalizarse, porque la condición necesaria y suficiente para una diagonalización similar es que la matriz cuadrada A de orden n tenga n vectores propios linealmente independientes, y la condición suficiente es que A tenga n valores propios diferentes y n valores propios diferentes Debe corresponder a n vectores propios linealmente independientes Los n valores propios de una matriz simétrica real corresponden a n vectores propios linealmente independientes, por lo que la matriz simétrica real debe diagonalizarse.

Datos ampliados:

Propiedades de las matrices simétricas reales;

1 y los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de la matriz simétrica real A son ortogonales.

2. Los valores propios de la matriz simétrica real A son todos números reales y los vectores propios son todos vectores reales.

3. La matriz simétrica real A de orden n debe ser diagonalizable, y los elementos en matrices diagonales similares son los valores propios de la matriz misma.

4. Si λ0 tiene k valores propios múltiples, entonces debe haber k vectores propios linealmente independientes, o debe haber un rango r(λ0E-A)=n-k, donde e es la matriz identidad.