10 Cómo demostrar el teorema de Pitágoras
Prueba encantadora del teorema
-Prueba del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es una perla en geometría, por lo que está lleno de encanto. Durante miles de años, la gente ha estado ansiosa por demostrarlo, incluidos matemáticos famosos, matemáticos aficionados, gente común, dignatarios distinguidos e incluso presidentes nacionales. Quizás sea precisamente por su importancia, simplicidad y atractivo que el Teorema de Pitágoras ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de demostraciones del teorema de Pitágoras, que recopilaba 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Los datos muestran que hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras, y Hua Hua, un matemático de finales de la dinastía Qing, proporcionó más de 20 maravillosos métodos de demostración. Esto no tiene comparación con ningún teorema.
Entre estos cientos de métodos de prueba, algunos son muy maravillosos, otros son muy concisos y algunos son muy famosos debido a la identidad especial del testigo.
En primer lugar, presentaré las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.
1 método chino
Dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa. Los dos cuadrados son congruentes, por lo que sus áreas son iguales.
Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales a los triángulos rectángulos originales, y la suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Si quitas cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de las figuras serán iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con A y B como lados respectivamente. A la derecha hay un cuadrado de lado C. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, cualquiera puede entenderlo.
2. Método griego
Dibuja un cuadrado directamente en los tres lados del triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen.
Es fácil de ver,
△ABA‘≔△AA‘‘C.
Dibuja una línea perpendicular que pase por C hasta A‘b‘, cruzando AB en C‘ y A‘b‘ en C‘.
Las alturas de la base de △ABA′ y el cuadrado ACDA′ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. Las alturas de la base de △AA′″C y el rectángulo AA′″. C″ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. De △ABA'≔△AA''C, sabemos que el área del cuadrado ACDA' es igual al área de. el rectángulo AA''C''. De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual a la del rectángulo b''BC''C''. p>
S cuadrado AA'B''B = S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,
Es decir, a2+b2 =c2
En cuanto a. siendo el área de un triángulo la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, se puede obtener mediante el método de cortar y rellenar (pruébelo usted mismo. Solo se utilizan relaciones de área simples). aquí, y las sumas de triángulos no están involucradas. La fórmula para el área de un rectángulo
Esta es la prueba dada por el antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de geometría"
Los dos métodos de demostración anteriores son muy buenos porque utilizan Hay pocos teoremas y solo se utilizan dos conceptos básicos de área:
(1) Las áreas de congruencia son iguales;
(2 ) Divide una figura en varias partes, y el área de cada parte La suma es igual al área de la figura original
Este es un concepto completamente aceptable y simple que cualquiera puede entender.
Los matemáticos chinos han utilizado muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras. También hay muchas ilustraciones del teorema de Pitágoras, entre las que Zhao Shuang (también conocido como Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en el artículo "Ilustraciones del cuadrado de Pitágoras". ", que se adjunta al "Zhou Bi Suan Jing" mediante el método de cortar y rellenar:
Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados en bermellón, el cuadrado pequeño en el medio está pintado de amarillo, que se llama sólido amarillo del medio, y el cuadrado con la cuerda como lado se llama sólido de cuerda. Al hacer coincidir las sumas, afirmó que la relación entre las cuerdas de Pitágoras es consistente con el teorema de Pitágoras. , es decir, "los acordes pitagóricos multiplicados entre sí son acordes reales y divisiones cuadradas, es decir, acordes". ”
La demostración del teorema de Pitágoras por parte de Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas, que son concisas e intuitivas.
Muchos eruditos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras y lo han dado. Hay muchos métodos de prueba, entre los cuales Pitágoras dio la prueba más antigua documentada. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras, estaba tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo. el "Teorema de los cien toros". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se ha perdido hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.
La siguiente es la prueba del vigésimo presidente de los Estados Unidos. Teorema de Pitágoras
Como se muestra en la figura, s trapezoide ABCD = (a+b)2
= (a2+2ab+. B2), ①
y S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+. C2). Con las dos fórmulas anteriores, podemos obtener
a2+b2=c2.
Esta prueba es bastante sencilla porque utiliza la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .
Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Hacer CD⊥BC y establecer un punto de apoyo es la ley de Ting
△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.
¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①
AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB. ②
Descubrimos que sumando ① y ②, podemos obtener.
BC2+AC2=AB,
Y AD+BD=AB,
Entonces BC2+AC2=AB2, es decir,
a2+b2=c2.
Esta también es una forma de demostrar el Teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.
En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también ha cometido algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:
Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC,< /p >
Porque ∠c = 90°, entonces CosC=0. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La razón por la que la gente está interesada en el teorema de Pitágoras es que puede generalizarse.
Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."
Del teorema anterior, podemos deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo con los tres lados de un triángulo rectángulo como diámetro, entonces el área del círculo con la hipotenusa como diámetro El diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.
El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer un poliedro semejante, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual al área de superficie de los dos poliedros del lado derecho La suma de las áreas de superficie.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo como bolas, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas en los dos lados derechos .
Y así sucesivamente.
Apéndice
En primer lugar, una breve introducción a "Zhou Pian·Ji Jing"
"Zhou Kuai Suan Jing" es uno de los diez primeros cálculos libros. Fue escrito en el siglo II a.C. y originalmente se llamaba "Zhou Xie". Es el trabajo astronómico más antiguo de China. Desarrolla principalmente la teoría de cubrir el cielo y el calendario trimestral de esa época. A principios de la dinastía Tang, fue designado como uno de los libros de texto de Shu Ming en la Academia Imperial, por lo que pasó a llamarse "Zhou Kuai Shu Jing". El principal logro matemático de "Zhou Bi Suan Jing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no demostró el teorema de Pitágoras, pero Zhao Shuang, un nativo de Wu Dong, dio la prueba en "Zhou Zhuan·Pythagorean Fang Notes".
"Zhou Bi Suan Jing" utiliza un algoritmo de fracción bastante complejo y un método de raíz cuadrada.
2. La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield
En una tarde de fin de semana de 1876, en los suburbios de Washington, D.C., un hombre de mediana edad estaba dando un paseo, disfrutando del hermoso paisaje de la tarde. Entonces era un * * * de Ohio y miembro del partido Garfield. Mientras caminaba, de repente encontró a dos niños en un pequeño banco de piedra cercano que estaban concentrados en hablar de algo, discutiendo en voz alta y discutiendo algo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y encontró a los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinándose y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?". Garfield respondió: "El pequeño es cinco". El niño volvió a preguntar: "Si los dos lados rectángulos son 5 y 7 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo?" Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 5 al cuadrado más". 7 al cuadrado." El niño pequeño Luego dijo: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin palabras por un momento y no pudo explicar. Estaba muy infeliz.
Así que Garfield se detuvo e inmediatamente se fue a casa para discutir el problema que el pequeño le había planteado. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió la verdad y dio un método de prueba conciso.
La siguiente es la demostración del Teorema de Pitágoras de Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos.
Como se muestra en la figura,
s trapezoide ABCD = (a+b)2
= (a2+2ab+B2), ①
Y S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED.
= ab+ ba+ c2
= (2ab+C2). ②
Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener
a2+b2=c2.
Esta prueba es bastante sencilla porque utiliza la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .
Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Hacer CD⊥BC y establecer un punto de apoyo es la ley de Ting
△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.
¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①
AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB. ②
Descubrimos que sumando ① y ②, podemos obtener.
BC2+AC2=AB,
Y AD+BD=AB,
Entonces BC2+AC2=AB2, es decir,
a2+b2=c2.
Esta también es una forma de demostrar el Teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.
En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también ha cometido algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:
Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC,< /p >
Porque ∠c = 90°, entonces CosC=0. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La razón por la que la gente está interesada en el teorema de Pitágoras es que puede generalizarse.
Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."
Del teorema anterior, podemos deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo con los tres lados de un triángulo rectángulo como diámetro, entonces el área del círculo con la hipotenusa como diámetro El diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.
El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer un poliedro semejante, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual al área de superficie de los dos poliedros del lado derecho La suma de las áreas de superficie.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo como bolas, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas en los dos lados derechos .
Y así sucesivamente.